Пример №309 из задания 2

Длины векторов $\overrightarrow{a}$ и $\overrightarrow{b}$ равны $12\sqrt{3}$ и $7$ , а угол между ними равен $30^{\circ}$ . Найдите скалярное произведение $\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}$ .

Решение

Скалярное произведение векторов равняется произведению их длин на косинус угла между ними:

$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = \overrightarrow{|a|} \cdot \overrightarrow{|b|} \cdot \cos \alpha.$

Подставим известные значения в формулу и найдем скалярное произведение вектров:

$\displaystyle \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = 12\sqrt{3} \cdot 7 \cdot \cos 30^{\circ}=84\sqrt{3} \cdot \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)=84 \cdot 3 \div 2=56.$

Ответ: $56$ .

Источник: Открытый банк задач ЕГЭ по математике (Задание №509776)