Пример №312 из задания 2

Длины векторов $\overrightarrow{a}$ и $\overrightarrow{b}$ равны $15$ и $7\sqrt{2}$ , а угол между ними равен $135^{\circ}$ . Найдите скалярное произведение $\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}$ .

Решение

Скалярное произведение векторов равняется произведению их длин на косинус угла между ними:

$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = \overrightarrow{|a|} \cdot \overrightarrow{|b|} \cdot \cos \alpha.$

Подставим известные значения в формулу и найдем скалярное произведение вектров:

$\displaystyle \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = 7\sqrt{2} \cdot 15 \cdot \cos 135^{\circ}=105\sqrt{2} \cdot \left(\frac{-\sqrt{2}}{2}\right)=-105 \cdot 2 \div 2=-105.$

Ответ: $-105$ .

Источник: Открытый банк задач ЕГЭ по математике (Задание №509779)