Пример №335 из задания 2

Длины векторов $\overrightarrow{a}$ и $\overrightarrow{b}$ равны $9 \sqrt{32}$ и $3$ , а угол между ними равен $135^{\circ}$ . Найдите скалярное произведение $\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}$ .

Решение

Скалярное произведение векторов равняется произведению их длин на косинус угла между ними:

$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = \overrightarrow{|a|} \cdot \overrightarrow{|b|} \cdot \cos \alpha.$

Подставим известные значения в формулу и найдем скалярное произведение векторов:

$\displaystyle \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = 3 \cdot 9 \sqrt{32} \cdot \cos 135^{\circ}=27 \sqrt{32} \cdot \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)=-27 \cdot \sqrt{64} \div 2=-108.$

Ответ: $-108$ .

Источник: Открытый банк задач ЕГЭ по математике (Задание №509802)