Пример №366 из задания 2

Даны векторы $\overrightarrow{a}(5\sqrt{7}; 5)$ и $\overrightarrow{b}(5\sqrt{7}; -5)$ . Найдите косинус угла между ними.

Решение

Скалярное произведение векторов равняется произведению их длин на косинус угла между ними:

$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = \overrightarrow{|a|} \cdot \overrightarrow{|b|} \cdot \cos \alpha.$

Выведем косинус угла между векторами:

$\displaystyle \cos \alpha=\frac{\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}}{\overrightarrow{|a|} \cdot \overrightarrow{|b|}}.$

В числителе у нас получилось скалярное произведение в координатах, а в знаменателе произведение длин векторов.

Скалярное произведение двух векторов $\overrightarrow{a}(x_1; y_1)$ и $\overrightarrow{b}(x_2; y_2)$ равняется $\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}=x_1 x_2 + y_1 y_2$ .

Найдем скалярное произведение:

$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}=5\sqrt{7} \cdot 5\sqrt{7} + 5 \cdot (-5) =175-25=150.$

Длина вектора $\overrightarrow{a} (x;y)$ вычисляется по формуле $|\overrightarrow{a}|=\sqrt{x^2+y^2}$ .

Найдем произведение длин векторов:

$|\overrightarrow{a}| \cdot |\overrightarrow{b}|=\sqrt{(5\sqrt{7})^2 + 5^2} \cdot \sqrt{(5\sqrt{7})^2 + (-5)^2} =\sqrt{200} \cdot \sqrt{200}=\sqrt{40000}=200.$

Найдем косинус угла между векторами:

$\displaystyle \cos \alpha=\frac{150}{200}=0,75.$

Ответ: $0,75$ .

Источник: Открытый банк задач ЕГЭ по математике (Задание №509832)