Пример №377 из задания 2

Даны векторы $\overrightarrow{a}(\sqrt{23}; 3\sqrt{3})$ и $\overrightarrow{b}(\sqrt{23}; -3\sqrt{3})$ . Найдите косинус угла между ними.

Решение

Скалярное произведение векторов равняется произведению их длин на косинус угла между ними:

$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = \overrightarrow{|a|} \cdot \overrightarrow{|b|} \cdot \cos \alpha.$

Выведем косинус угла между векторами:

$\displaystyle \cos \alpha=\frac{\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}}{\overrightarrow{|a|} \cdot \overrightarrow{|b|}}.$

В числителе у нас получилось скалярное произведение в координатах, а в знаменателе произведение длин векторов.

Скалярное произведение двух векторов $\overrightarrow{a}(x_1; y_1)$ и $\overrightarrow{b}(x_2; y_2)$ равняется $\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}=x_1 x_2 + y_1 y_2$ .

Найдем скалярное произведение:

$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}=\sqrt{23} \cdot \sqrt{23} + 3\sqrt{3} \cdot (-3\sqrt{3}) =23-27=-4.$

Длина вектора $\overrightarrow{a} (x;y)$ вычисляется по формуле $|\overrightarrow{a}|=\sqrt{x^2+y^2}$ .

Найдем произведение длин векторов:

$|\overrightarrow{a}| \cdot |\overrightarrow{b}|=\sqrt{(\sqrt{23})^2 + (3\sqrt{3})^2} \cdot \sqrt{(\sqrt{23})^2 + (-3\sqrt{3})^2} =\sqrt{50} \cdot \sqrt{50}=\sqrt{2500}=50.$

Найдем косинус угла между векторами:

$\displaystyle \cos \alpha=-\frac{4}{50}=-0,08.$

Ответ: $-0,08$ .

Источник: Открытый банк задач ЕГЭ по математике (Задание №509843)