Пример №412 из задания 2

Длина вектора $\overrightarrow{a}$ равна $4 \sqrt{7}$ , угол между векторами $\overrightarrow{a}$ и $\overrightarrow{b}$ равен $60^{\circ}$ , а скалярное произведение $\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}$ равно $13 \sqrt{7}$ . Найдите длину вектора $\overrightarrow{b}$ .

Решение

Скалярное произведение векторов равняется произведению их длин на косинус угла между ними:

$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = \overrightarrow{|a|} \cdot \overrightarrow{|b|} \cdot \cos \alpha.$

Выведем длину вектора $\overrightarrow{b}:$

$\displaystyle \overrightarrow{|b|}= \frac{\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}}{\overrightarrow{|a|} \cdot \cos \alpha}.$

Подставим известные значения в формулу и найдем длину вектора $\overrightarrow{b}:$

$\displaystyle \overrightarrow{|b|}= \frac{13 \sqrt{7}}{4 \sqrt{7} \cdot \cos 60^{\circ}}= \frac{13 \sqrt{7}}{4 \sqrt{7} \cdot \frac{1}{2}}= \frac{13 \sqrt{7}}{2 \sqrt{7}}=6,5.$

Ответ: $6,5$ .

Источник: Открытый банк задач ЕГЭ по математике (Задание №509874)