Пример №44 из задания 3

Две подруги, Оля и Аня, задумались о том, как рассчитать площадь поверхности зонта.

На первый взгляд зонт кажется круглым, а его купол напоминает часть сферы (сферический сегмент). Но если присмотреться, то видно, что купол зонта состоит из восьми отдельных клиньев, натянутых на каркас из восьми спиц (рис. 1). Сферическая форма в раскрытом состоянии достигается за счёт гибкости спиц и эластичности ткани.

Оля и Аня измерили расстояние между концами соседних спиц а. Оно оказалось равно 34 см. Высота купола зонта h (рис. 2) оказалась равна 28 см, а расстояние d между концам противоположных спиц равно 112 см.

Задание 3: Аня предположила, что купол зонта имеет форму сферического сегмента. Вычислите радиус R сферы купола, зная, что OC=R. Ответ дайте в сантиметрах.

Решение

Введем обозначения:

Треугольник $AOB$ – равнобедренный, т.к. $AO=BO=R$ . Значит, углы при основании равны $\angle OAD = \angle OBD$ .

$OC$ является медианой, т.к. данный отрезок является основной осью зонта и проводится ровно в центр купола. Значит, $OB$ является медианой, высотой и биссектрисой. Значит, $\angle ADO=\angle BDO=90^{\circ}$ .

Получается, что треугольник $ADO$ равен треугольнику $BDO$ по гипотенузе и острому углу.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $ADO$ . Найдем длину $AD$ , она равняется половине расстояния $d$ :

$\displaystyle AD=\frac{d}{2}=\frac{112}{2}=56.$

Найдем $OC$ :

$OD=OC-h=R-28.$

Найдем $OA$ по теореме Пифагора:

$AO^2=AD^2+OD^2;$

$R^2=56^2+(R-28)^2;$

$R^2=3136+R^2-56R+784;$

$56R=3920;$

$R=70.$

Получилось, что радиус сферы купола равен $70$ см.