Пример №72 из задания 15

Прямая, параллельная стороне AC треугольника ABC, пересекает стороны AB и BC в точках M и N соответственно, AC=30, MN=12. Площадь треугольника ABC равна 25. Найдите площадь треугольника MNB.

Решение

Треугольники $ABC$ и $MBN$ подобны по первому признаку подобия (по двум углам):

Угол $B$ является общим;

$\angle BAC=\angle BMN$ как соответственные углы при двух параллельных прямых и секущей.

Найдем коэффициент подобия треугольников (величина, равная отношению сходственных сторон треугольников):

$\displaystyle k=\frac{AC}{MN}=\frac{30}{12}=\frac{5}{2}.$

Теорема об отношении площадей подобных треугольников гласит: отношение площадей двух подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия. Т.е.:

$\displaystyle \frac{S_{\bigtriangleup ABC}}{S_{\bigtriangleup MNB}}=k^2;$

$\displaystyle \frac{25}{S_{\bigtriangleup MNB}}=\left(\frac{5}{2}\right)^2;$

$\displaystyle \frac{25}{S_{\bigtriangleup MNB}}=\frac{25}{4};$

$25 \cdot 4=S_{\bigtriangleup MNB} \cdot 25;$

$S_{\bigtriangleup NMB}=4.$

Ответ: $4$ .

Источник: ОГЭ 2025. Математика. 50 вариантов. Типовые варианты экзаменационных заданий от разработчиков ОГЭ. Ященко И. В. (вариант 39)