Пример №59 из задания 17

В равнобедренной трапеции основания равны 3 и 5, а один из углов между боковой стороной и основанием равен 45°. Найдите площадь этой трапеции.

Решение

Площадь трапеции находится по формуле $\displaystyle S=\frac{a+b}{2} \cdot h$ , где $a$ и $b$ – основания трапеции, $h$ – высота проведенная к основанию.

Основания известны, найдем высоту. Для этого рассмотрим прямоугольный треугольник $ABC$ :

В данном треугольнике известны $\angle BAC=45^{\circ}$ , $\angle ACD=90^{\circ}$ , т.к. $BC$ высота. Сумма углов в треугольнике равна $180^{\circ}$ , найдем оставшийся угол $ABC$ :

$\angle ABC=180^{\circ}-45^{\circ}-90^{\circ}=45^{\circ}.$

Получилось, что $\angle CAB=\angle ABC=45^{\circ}$ , значит треугольник $ABC$ является еще и равнобедренным. А у равнобедренного треугольника боковые стороны равны $AC=BC$ . Найдем сторону $AC=(5-3) \div 2=1$ . Получается, что высота равна $BC=1$ .

Найдем площадь трапеции:

$\displaystyle S=\frac{a+b}{2} \cdot h=\frac{5+3}{2} \cdot 1=4 \cdot 1=4.$

Ответ: $4$ .

Источник: ОГЭ 2025. Математика. 50 вариантов. Типовые варианты экзаменационных заданий от разработчиков ОГЭ. Ященко И. В. (вариант 22)