Пример №49 из задания 20

Решите систему уравнений

Решение

Вынесем из второго уравнения $x:$

$\displaystyle x=\frac{8}{y}.$

Подставим $x$ в первое уравнение:

$\displaystyle \left(\frac{8}{y} \right)^2+y^2=20;$

$\displaystyle \frac{64}{y^2}+y^2=20;$

$64+y^4=20y^2;$

$y^4-20y^2+64=0;$

Пусть $t=y^2$ , тогда:

$t^2-20t+64=0;$

$D=b^2-4ac=400-4 \cdot 1\cdot 64=144;$

$\displaystyle t_1=\frac{-b+\sqrt{D}}{2a}=\frac{20+12}{2}=16;$

$\displaystyle t_2=\frac{-b-\sqrt{D}}{2a}=\frac{20-12}{2}=4.$

Проведем обратную замену:

$y^2=16;$

$y_{1,2}=\pm 4.$

$y^2=4;$

$y_{3,4}=\pm 2.$

Найдем чему равен $x$ . Для этого подставим значения $y$ во второе уравнение:

$1) x_1 y_1=8;$

$4x_1=8;$

$x_1=2.$

$2) x_2 y_2=8;$

$-4x_2=8;$

$x_2=-2.$

$3) x_3 y_3=8;$

$2x_3=8;$

$x_3=4.$

$4) x_4 y_4=8;$

$-2x_4=8;$

$x_4=-4.$

В итоге получилось $(2;4); (-2;-4); (4;2); (-4;-2).$

Ответ: $(2;4); (-2;-4); (4;2); (-4;-2).$

Источник: ОГЭ 2025. Математика. 50 вариантов. Типовые варианты экзаменационных заданий от разработчиков ОГЭ. Ященко И. В. (вариант 18)

0 0 голоса

Рейтинг статьи

0 комментариев

Старые

Новые Популярные

Межтекстовые Отзывы

Посмотреть все комментарии