Пример №66 из задания 20

Решите неравенство $\displaystyle \frac{-11}{(x-2)^2-3} \geq 0$ .

Решение

ОДЗ: $(x-2)^2-3 \neq 0;$

Т.к. числитель дроби не равен 0, то и дробь будет не равна 0. Дробь будет больше нуля, если знаменатель дроби будет меньше нуля, т.к. в числителе стоит отрицательное число. Можно записать:

$(x-2)^2-3 < 0;$

Воспользуемся формулой квадрата разности $a^2-b^2=(a-b)(a+b):$

$(x-2)^2-(\sqrt{3})^2 < 0;$

$(x-2-\sqrt{3}) (x-2+\sqrt{3}) < 0;$

Воспользуемся методом интервалов:

$(x-2-\sqrt{3}) (x-2+\sqrt{3}) = 0;$

Уравнение будет равно нулю, если $x-2-\sqrt{3} = 0$ или $x-2+\sqrt{3} = 0.$

$x-2-\sqrt{3} = 0;$

$x=2+\sqrt{3}.$

ИЛИ

$x-2+\sqrt{3} = 0;$

$x=2-\sqrt{3}.$