Пример №82 из задания 20

Решите неравенство $\displaystyle \frac{-13}{(x-4)^2-6} \geq 0$ .

Решение

ОДЗ: $(x-4)^2-6 \neq 0;$

Т.к. числитель дроби не равен 0, то и дробь будет не равна 0. Дробь будет больше нуля, если знаменатель дроби будет меньше нуля, т.к. в числителе стоит отрицательное число. Можно записать:

$(x-4)^2-6 < 0;$

Воспользуемся формулой квадрата разности $a^2-b^2=(a-b)(a+b):$

$(x-4)^2-(\sqrt{6})^2 < 0;$

$(x-4-\sqrt{6}) (x-4+\sqrt{6}) < 0;$

Воспользуемся методом интервалов:

$(x-4-\sqrt{6}) (x-4+\sqrt{6}) = 0;$

Уравнение будет равно нулю, если $x-4-\sqrt{6} = 0$ или $x-4+\sqrt{6} = 0.$

$x-4-\sqrt{6} = 0;$

$x=4+\sqrt{6}.$

ИЛИ

$x-4+\sqrt{6} = 0;$

$x=4-\sqrt{6}.$