Пример №16 из задания 23

Отрезки AB и CD являются хордами окружности. Найдите длину хорды CD, если AB = 24, а расстояния от центра окружности до хорд AB и CD равны соответственно 16 и 12.

Решение

Нарисуем условие и проведем отрезки $OB$ и $OC$ :

Расстоянием от центра окружности до хорд является длина перпендикуляра, т.е. $OS \perp AB$ и $OT \perp CD$ . Точки $S$ и $T$ делят хорду пополам (по свойству хорды: если радиус делит хорду пополам, то он ей перпендикулярен).

Значит, треугольники $BSO$ и $CTO$ являются прямоугольными. В них известны $BS=AB \div 2=24 \div 2=12$ и $CT=\displaystyle \frac{CD}{2}$ .

Рассмотрим прямоугольный треугольник $BSO$ и найдём гипотенузу $BO$ по теореме Пифагора:

$BO^2=OS^2+BS^2;$

$BO^2=16^2+12^2;$

$BO^2=256+144;$

$BO^2=400;$

$BO=20.$

$BO=CO=20$ – т.к. являются радиусами окружности.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $CTO$ и найдём неизвестный катет $CT$ по теореме Пифагора:

$CO^2=OT^2+CT^2;$

$20^2=12^2+CT^2;$

$400=144+CT^2;$