Пример №18 из задания 8

Найдите значение выражения $\displaystyle \frac{\sqrt{4a^{11}} \cdot \sqrt{9b^4}}{\sqrt{a^7 b^4}}$ при $a=7$ и $b=9$ .

Решение

Воспользуемся следующими свойствами степеней $\displaystyle a^m \div a^n=a^{m-n}$ и $\displaystyle \sqrt[n]{x^m}=n^{\frac{n}{m}}.$

$\displaystyle \sqrt{\frac{4a^{11} \cdot 9b^4}{a^7 b^6}}=\frac{\sqrt{4a^{7+4}} \cdot \sqrt{9b^4}}{\sqrt{a^7} \cdot \sqrt{b^4}}=\frac{\sqrt{4} \cdot \sqrt{a^7 \cdot a^4} \cdot \sqrt{9} \sqrt{b^4}}{\sqrt{a^7} \cdot \sqrt{b^4}}=\frac{2\sqrt{a^7} \cdot \sqrt{a^4} \cdot 3}{a^7}=6 \sqrt{a^4}=6a^2$ .

Найдем значение при $a=7$ и $b=9:$

$\displaystyle 6a^2=6 \cdot 7^2=6 \cdot 49=294$ .

Ответ: $294$ .

Источник: ОГЭ-2025. Математика. Типовые экзаменационные варианты. 36 вариантов. Ященко И. В. (вариант 27)