Пример №256 из задания 2

Даны векторы $\overrightarrow{a} (4;3)$ , $\overrightarrow{b} (12;-14)$ и $\overrightarrow{c} (8;-6)$ . Найдите значение выражения $\overrightarrow{a} \cdot (\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c})$ .

Решение

Сумма двух векторов $\overrightarrow{b}(x_1; y_1)$ и $\overrightarrow{c}(x_2; y_2)$ равняется $\overrightarrow{b} + \overrightarrow{c}=x_1 + x_2 ; y_1 + y_2$ .

Определим координаты вектора:

Пусть $\overrightarrow{t}=\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}$ :

$\overrightarrow{t}=\{12+8; -14+(-6)\}=\{20; -20\}$ .

Получается следующее выражение $\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{t}.$

Скалярное произведение двух векторов $\overrightarrow{t}(x_1; y_1)$ и $\overrightarrow{c}(x_2; y_2)$ равняется $\overrightarrow{t} \cdot \overrightarrow{c}=x_1 x_2 + y_1 y_2$ .

Найдем скалярное произведение:

$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{t}= \overrightarrow{a} \cdot (\overrightarrow{b} + \overrightarrow{c})=4 \cdot 20+ 3 \cdot (-20)=80-60=20.$

Ответ: $20$ .

Источник: Открытый банк задач ЕГЭ по математике (Задание №509727)