Пример №258 из задания 2

На координатной плоскости изображены векторы $\overrightarrow{a}$ , $\overrightarrow{b}$ и $\overrightarrow{c}$ . Найдите значение выражения $(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}) \cdot \overrightarrow{c}$ .

Решение

Если точки координатной плоскости имеют координаты $A(x_1; y_1)$ и $B(x_2; y_2)$ , то вектор $\overrightarrow{AB}$ имеет координаты $(x_2-x_1; y_2-y_1)$ .

Найдем координаты вектора $\overrightarrow{a}:$

$\overrightarrow{a}=(3-1; 3-2)=(2; 1)$ .

Найдем координаты вектора $\overrightarrow{b}:$

$\overrightarrow{b}=(2-3; 8-4)=(-1; 4)$ .

Найдем координаты вектора $\overrightarrow{c}:$

$\overrightarrow{a}=(9-4; 4-5)=(5; -1)$ .

Разность двух векторов $\overrightarrow{a}(x_1; y_1)$ и $\overrightarrow{b}(x_2; y_2)$ равняется $\overrightarrow{a} — \overrightarrow{b}=x_1 — x_2 ; y_1 — y_2$ .

Определим координаты вектора:

Пусть $\overrightarrow{t}=\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}$ :

$\overrightarrow{t}=\{2-(-1); 1-4\}=\{3; -3\}$ .

Получается следующее выражение $\overrightarrow{t} \cdot \overrightarrow{c}.$

Скалярное произведение двух векторов $\overrightarrow{t}(x_1; y_1)$ и $\overrightarrow{c}(x_2; y_2)$ равняется $\overrightarrow{t} \cdot \overrightarrow{c}=x_1 x_2 + y_1 y_2$ .

Найдем скалярное произведение:

$\overrightarrow{t} \cdot \overrightarrow{c}= \overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}) \cdot \overrightarrow{c}=3 \cdot 5+ (-3) \cdot (-1)=15+3=18.$

Ответ: $18$ .

Источник: Открытый банк задач ЕГЭ по математике (Задание №509728)