Пример №288 из задания 2

Даны векторы $\overrightarrow{a} (8;-4)$ , $\overrightarrow{b} (-2;-9)$ и $\overrightarrow{c} (-2;5)$ . Найдите длину вектора $\overrightarrow{2a}-\overrightarrow{b}+\overrightarrow{3c}$ .

Решение

Разность дух векторов $\overrightarrow{a}(x_1; y_1)$ и $\overrightarrow{b}(x_2; y_2)$ равняется $\overrightarrow{a} — \overrightarrow{b}=x_1 — x_2 ; y_1 — y_2$ .

Сумма дух векторов $\overrightarrow{a}(x_1; y_1)$ и $\overrightarrow{b}(x_2; y_2)$ равняется $\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}=x_1 + x_2 ; y_1 + y_2$ .

Определим координаты вектора:

$\overrightarrow{2a}-\overrightarrow{b}+\overrightarrow{3c}=\{2 \cdot 8 — (-2) + 3 \cdot (-2); 2 \cdot (-4) — (-9) + 3 \cdot 5\}=\{16+2-6; -8+9+15\}=\{12;16\}.$

Длина вектора $\overrightarrow{a} (x;y)$ вычисляется по формуле $|\overrightarrow{a}|=\sqrt{x^2+y^2}.$

Найдем длину вектора:

$|\overrightarrow{2a}-\overrightarrow{b}+\overrightarrow{3c}|=\sqrt{x^2+y^2}=\sqrt{12^2+16^2}=\sqrt{144+256}=\sqrt{400}=20.$

Ответ: $20$ .

Источник: Открытый банк задач ЕГЭ по математике (Задание №509757)