Пример №299 из задания 2

На координатной плоскости изображены векторы $\overrightarrow{a}$ и $\overrightarrow{b}$ . Найдите длину вектора $\overrightarrow{2a} — \overrightarrow{b}$ .

Решение

Если точки координатной плоскости имеют координаты $A(x_1; y_1)$ и $B(x_2; y_2)$ , то вектор $\overrightarrow{AB}$ имеет координаты $(x_2-x_1; y_2-y_1)$ .

Найдем координаты вектора $\overrightarrow{a}:$

$\overrightarrow{a}=(2-1; 1-2)=(1; -1)$ .

Найдем координаты вектора $\overrightarrow{b}:$

$\overrightarrow{b}=(3-5; 2-1)=(-2; 1)$ .

Разность дух векторов $\overrightarrow{a}(x_1; y_1)$ и $\overrightarrow{b}(x_1; y_1)$ равняется $\overrightarrow{a} — \overrightarrow{b}=x_1 — x_2 ; y_1 — y_2$ .

Сумма дух векторов $\overrightarrow{a}(x_1; y_1)$ и $\overrightarrow{b}(x_1; y_1)$ равняется $\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}=x_1 + x_2 ; y_1 + y_2$ .

Определим координаты вектора:

$\overrightarrow{2a} — \overrightarrow{b} =\{2 \cdot 1 — (-2); 2 \cdot (-1) — 1\}=\{4; -3\}$ .

Длина вектора $\overrightarrow{a} (x;y)$ вычисляется по формуле $|\overrightarrow{a}|=\sqrt{x^2+y^2}$ .

Найдем длину вектора:

$|\overrightarrow{2a} — \overrightarrow{b}|=\sqrt{x^2+y^2}=\sqrt{4^2+(-3)^2}=\sqrt{16+9}=\sqrt{25}=5.$

Ответ: $5$ .

Источник: Открытый банк задач ЕГЭ по математике (Задание №509526)