Пример №303 из задания 2

Длины векторов $\overrightarrow{a}$ и $\overrightarrow{b}$ равны $18$ и $3\sqrt{3}$ , а угол между ними равен $150^{\circ}$ . Найдите скалярное произведение $\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}$ .

Решение

Скалярное произведение векторов равняется произведению их длин на косинус угла между ними:

$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = \overrightarrow{|a|} \cdot \overrightarrow{|b|} \cdot \cos \alpha.$

Подставим известные значения в формулу и найдем скалярное произведение вектров:

$\displaystyle \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = 3\sqrt{3} \cdot 18 \cdot \cos 150^{\circ}=54\sqrt{3} \cdot \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)=-54 \cdot 3 \div 2=-81.$

Ответ: $-81$ .

Источник: Открытый банк задач ЕГЭ по математике (Задание №509770)