Пример №338 из задания 2

Длины векторов $\overrightarrow{a}$ и $\overrightarrow{b}$ равны $7 \sqrt{6}$ и $15 \sqrt{2}$ , а угол между ними равен $150^{\circ}$ . Найдите скалярное произведение $\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}$ .

Решение

Скалярное произведение векторов равняется произведению их длин на косинус угла между ними:

$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = \overrightarrow{|a|} \cdot \overrightarrow{|b|} \cdot \cos \alpha.$

Подставим известные значения в формулу и найдем скалярное произведение векторов:

$\displaystyle \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = 7 \sqrt{6} \cdot 15 \sqrt{2} \cdot \cos 150^{\circ}=105 \sqrt{12} \cdot \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)=-105 \cdot \sqrt{36} \div 2=-315.$

Ответ: $-315$ .

Источник: Открытый банк задач ЕГЭ по математике (Задание №509805)