Пример №339 из задания 2

Длины векторов $\overrightarrow{a}$ и $\overrightarrow{b}$ равны $2 \sqrt{15}$ и $\sqrt{5}$ , а угол между ними равен $30^{\circ}$ . Найдите скалярное произведение $\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}$ .

Решение

Скалярное произведение векторов равняется произведению их длин на косинус угла между ними:

$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = \overrightarrow{|a|} \cdot \overrightarrow{|b|} \cdot \cos \alpha.$

Подставим известные значения в формулу и найдем скалярное произведение векторов:

$\displaystyle \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = 2 \sqrt{15} \cdot \sqrt{5} \cdot \cos 30^{\circ}=2 \sqrt{75} \cdot \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)=2 \cdot \sqrt{225} \div 2=15.$

Ответ: $15$ .

Источник: Открытый банк задач ЕГЭ по математике (Задание №509806)