Пример №347 из задания 2

Даны векторы $\overrightarrow{a}(8; 4)$ и $\overrightarrow{b}(-4; -8)$ . Найдите косинус угла между ними.

Решение

Скалярное произведение векторов равняется произведению их длин на косинус угла между ними:

$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = \overrightarrow{|a|} \cdot \overrightarrow{|b|} \cdot \cos \alpha.$

Выведем косинус угла между векторами:

$\displaystyle \cos \alpha=\frac{\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}}{\overrightarrow{|a|} \cdot \overrightarrow{|b|}}.$

В числителе у нас получилось скалярное произведение в координатах, а в знаменателе произведение длин векторов.

Скалярное произведение двух векторов $\overrightarrow{a}(x_1; y_1)$ и $\overrightarrow{b}(x_2; y_2)$ равняется $\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}=x_1 x_2 + y_1 y_2$ .

Найдем скалярное произведение:

$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}=8 \cdot (-4)+ 4 \cdot (-8)=-32-32=-64.$

Длина вектора $\overrightarrow{a} (x;y)$ вычисляется по формуле $|\overrightarrow{a}|=\sqrt{x^2+y^2}$ .

Найдем произведение длин векторов:

$|\overrightarrow{a}| \cdot |\overrightarrow{b}|=\sqrt{8^2+4^2} \cdot \sqrt{(-4)^2+(-8)^2}=\sqrt{80} \cdot \sqrt{80}=\sqrt{6400}=80.$

Найдем косинус угла между векторами:

$\displaystyle \cos \alpha=\frac{-64}{80}=-0,8.$

Ответ: $-0,8$ .

Источник: Открытый банк задач ЕГЭ по математике (Задание №509813)

0 0 голоса

Рейтинг статьи

0 комментариев

Старые

Новые Популярные

Межтекстовые Отзывы

Посмотреть все комментарии

Пример №347 из задания 2

Решение

Интересные статьи: