Пример №392 из задания 2

Длина вектора $\overrightarrow{a}$ равна $2 \sqrt{3}$ , угол между векторами $\overrightarrow{a}$ и $\overrightarrow{b}$ равен $135^{\circ}$ , а скалярное произведение $\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}$ равно $-11 \sqrt{6}$ . Найдите длину вектора $\overrightarrow{b}$ .

Решение

Скалярное произведение векторов равняется произведению их длин на косинус угла между ними:

$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = \overrightarrow{|a|} \cdot \overrightarrow{|b|} \cdot \cos \alpha.$

Выведем длину вектора $\overrightarrow{b}:$

$\displaystyle \overrightarrow{|b|}= \frac{\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}}{\overrightarrow{|a|} \cdot \cos \alpha}.$

Подставим известные значения в формулу и найдем длину вектора $\overrightarrow{b}:$

$\displaystyle \overrightarrow{|b|}= \frac{-11 \sqrt{6}}{2 \sqrt{3} \cdot \cos 135^{\circ}}=\frac{-11 \sqrt{6}}{2 \sqrt{3} \cdot -\frac{\sqrt{2}}{2}}=\frac{11 \sqrt{6}}{ \sqrt{6}}=11.$

Ответ: $11$ .

Источник: Открытый банк задач ЕГЭ по математике (Задание №509854)