Пример №405 из задания 2

Длина вектора $\overrightarrow{a}$ равна $105$ , угол между векторами $\overrightarrow{a}$ и $\overrightarrow{b}$ равен $150^{\circ}$ , а скалярное произведение $\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}$ равно $-42 \sqrt{3}$ . Найдите длину вектора $\overrightarrow{b}$ .

Решение

Скалярное произведение векторов равняется произведению их длин на косинус угла между ними:

$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = \overrightarrow{|a|} \cdot \overrightarrow{|b|} \cdot \cos \alpha.$

Выведем длину вектора $\overrightarrow{b}:$

$\displaystyle \overrightarrow{|b|}= \frac{\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}}{\overrightarrow{|a|} \cdot \cos \alpha}.$

Подставим известные значения в формулу и найдем длину вектора $\overrightarrow{b}:$

$\displaystyle \overrightarrow{|b|}= \frac{-42 \sqrt{3}}{105 \cdot \cos 150^{\circ}}=\frac{-42 \sqrt{3}}{105 \cdot -\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{84 \sqrt{3}}{105 \sqrt{3}}=0,8.$

Ответ: $0,8$ .

Источник: Открытый банк задач ЕГЭ по математике (Задание №509867)