Пример №27 из задания 3

Две подруги Оля и Таня задумались о том, как рассчитать площадь поверхности зонта.

На первый взгляд зонт кажется круглым, а его купол напоминает часть сферы (сферический сегмент). Но если присмотреться, то видно, что купол зонта состоит из двенадцати отдельных клиньев, натянутых на каркас из двенадцати спиц (рис. 1). Сферическая форма в раскрытом состоянии достигается за счёт гибкости спиц и эластичности ткани, из которой изготовлен зонт.

Оля и Таня сумели измерить расстояние между концами соседних спиц а. Оно оказалось равно 28 см. Высота купола зонта h (рис. 2) оказалась равна 27 см, а расстояние d между концами спиц, образующих дугу окружности, проходящей через вершину зонта, – ровно 108 см.

Задание 3: Таня предложила, что купол зонта имеет форму сферического сегмента. Вычислите радиус R сферы купола, зная, что OC=R (рис. 2). Ответ дайте в сантиметрах.

Решение

Введем обозначения:

Треугольник $AOB$ – равнобедренный, т.к. $AO=BO=R$ . Значит, углы при основании равны $\angle OAD = \angle OBD$ .

$OC$ является медианой, т.к. данный отрезок является основной осью зонта и проводится ровно в центр купола. Значит, $OB$ является медианой, высотой и биссектрисой. Значит, $\angle ADO=\angle BDO=90^{\circ}$ .

Получается, что треугольник $ADO$ равен треугольнику $BDO$ по гипотенузе и острому углу.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $ADO$ . Найдем длину $AD$ , она равняется половине расстояния $d$ :

$\displaystyle AD=\frac{d}{2}=\frac{108}{2}=54.$

Найдем $OC$ :

$OD=OC-h=R-27.$

Найдем $OA$ по теореме Пифагора:

$AO^2=AD^2+OD^2;$

$R^2=54^2+(R-27)^2;$

$R^2=2916+R^2-54R+729;$

$54R=3645;$

$R=67,5.$

Получилось, что радиус сферы купола равен $67,5$ см.