Пример №68 из задания 14

Ане надо подписать 185 открыток. Ежедневно она подписывает на одно и то же количество открыток больше по сравнению с предыдущим днём. Известно, что за первый день Аня подписала 5 открыток. Определите, сколько открыток было подписано за седьмой день, если вся работа была выполнена за 10 дней.

Решение

Задача на арифметическую прогрессию, т.к. ежедневно она подписывает на одно и то же количество открыток больше по сравнению с предыдущим днём.

Для решения воспользуемся формулой суммой первых $n$ членов арифметической прогрессии $\displaystyle S_n=\frac{a_1+a_n}{2} \cdot n$ .

Запишем известные данные:

$S_{10}=185$ – всего необходимо подписать открыток;

$a_1=5$ – первый член арифметической прогрессии (сколько подписано открыток в первый день);

$a_{10}=?$ – последний член арифметической прогрессии (сколько подписано открыток в последний день).

Сначала найдём сколько всего открыток было подписано в десятый день:

$\displaystyle 185=\frac{5+a_{10}}{2} \cdot 10;$

$\displaystyle 370=(5+a_{10}) \cdot 10;$

$\displaystyle 370=50+10a_{10};$

$\displaystyle 370-50=10a_{10};$

$\displaystyle 320=10a_{10};$

$a_{10}=32.$

Получилось, что в десятый день было подписано $32$ открытки.

Для нахождения количества открыток которые были подписаны в седьмой день, необходимо воспользоваться формулой $n$ члена арифметической прогрессии $a_n=a_1+d (n-1)$ .

Найдем разность арифметической прогрессии $\displaystyle d=\frac{a_n-a_1}{n-1}=\frac{a_{10}-5}{10-1}=\frac{32-5}{9}=3$ .

Подставим известные значения в формулу $n$ члена арифметической прогрессии и найдем сколько открыток было подписано за седьмой день:

$\displaystyle a_7=5+3 \cdot (7-1)=5+3 \cdot 6=23.$

Ответ: $23$ .

Источник: ОГЭ 2025. Математика. 50 вариантов. Типовые варианты экзаменационных заданий от разработчиков ОГЭ. Ященко И. В. (вариант 33)