Пример №82 из задания 16

На окружности отмечены точки A и B так, что меньшая дуга AB равна 72°. Прямая BC касается окружности в точке B так, что угол ABC острый. Найдите угол ABC. Ответ дайте в градусах.

Решение

Дорисуем треугольник:

Основное свойство центрального угла гласит: градусная мера центрального угла равна градусной мере дуги, на которую он опирается, т.е. $∠AOB=72^{\circ}$ .

Треугольник $AOB$ – равнобедренный, т.к. $AO=BO=r$ . Сумма углов в треугольнике равна $180^{\circ}$ , а т.к. треугольник равнобедренный, то углы при основании равны и третий угол нам известен. Найдем угол $ABC:$

$\angle BOA+\angle OAB+\angle ABO=180^{\circ};$

$72^{\circ}+\angle OAB+\angle ABO=180^{\circ};$

$\angle OAB+\angle ABO=180^{\circ}-72^{\circ};$

$\angle OAB+\angle ABO=108^{\circ}.$

Отсюда $\angle OAB=\angle ABO=108^{\circ} \div 2=54^{\circ}.$

Радиус $OB$ пересекает касательную под прямым углом, т.е. $\angle OBC=90^{\circ}.$

Найдем угол $ABC:$

$\angle ABC=\angle OBC-\angle OBA=90^{\circ}-54^{\circ}=36^{\circ}.$

Ответ: $36$ .

Источник: ОГЭ 2025. Математика. 50 вариантов. Типовые варианты экзаменационных заданий от разработчиков ОГЭ. Ященко И. В. (вариант 48)