Пример №27 из задания 21

Из А в В одновременно выехали два автомобилиста. Первый проехал с постоянной скоростью весь путь. Второй проехал первую половину пути со скоростью, меньшей скорости первого автомобилиста на 8 км/ч, а вторую половину пути проехал со скоростью 90 км/ч, в результате чего прибыл в В одновременно с первым автомобилистом. Найдите скорость первого автомобилиста, если известно, что она больше 75 км/ч.

Решение

Мы знаем, что $\displaystyle V=\frac{S}{t}.$

Пусть $x$ км/ч – скорость первого автомобиля, $S$ – весь путь. Время, затраченное первым автомобилистом будет равно $\displaystyle \frac{S}{x}$ .

Путь второго автомобилиста разделен на два пути: скорость на первой части пути равна $(x-8)$ км/ч, а на второй части пути $90$ км/ч. Значит время, затраченное вторым автомобилистом будет равно $\displaystyle \frac{\frac{1}{2}S}{x-8}+\frac{\frac{1}{2}S}{90}$ . Оба автомобилиста прибыли в пункт B одновременно, значит время в пути у них было одинаковым. Можно составить уравнение:

$\displaystyle \frac{S}{x}=\frac{\frac{1}{2}S}{x-8}+\frac{\frac{1}{2}S}{90};$

$\displaystyle \frac{S}{x}=\frac{S}{2(x-8)}+\frac{S}{2 \cdot 90};$

$\displaystyle \frac{1}{x}=\frac{1}{2x-16}+\frac{1}{180};$

$\displaystyle \frac{180(2x-16)}{x \cdot 180 \cdot (2x-16)}=\frac{180x}{x \cdot 180 \cdot (2x-16)}+\frac{x(2x-16)}{x \cdot 180 \cdot (2x-16)};$

$360x-2880=180x+2x^2-16x;$

$2x^2-196x-2880=0;$

$x^2-98x-1440=0;$

$D=9604-4 \cdot (-1440)=3844;$

$\displaystyle x_1=\frac{98+62}{2}=80;$

$\displaystyle x_2=\frac{98-62}{2}=18.$

Т.к. скорость первого автомобилиста больше $75$ км/ч, то нам подходит только $80$ км/ч.

Ответ: $80$ .