Пример №2 из задания 23

Найдите боковую сторону AB трапеции ABCD, если углы ABC и BCD равны соответственно 60° и 135°, а CD = 24.

Решение

Нарисуем трапецию $ABCD$ и проведем в нем высоты $AH$ и $CE$ :

$\angle ECD=\angle BCD — \angle BCE=135^{\circ}-90^{\circ}=45^{\circ}$ .

Рассмотрим треугольник $CED$ , в котором известны углы $\angle CED=90^{\circ}; \angle CDE=\angle DCE = 45^{\circ}$ . Мы знаем, что косинус – отношение прилежащего катета к гипотенузе. Значит, можно записать:

$\displaystyle cos \angle DCE=\frac{CE}{CD};$

$\displaystyle cos 45^{\circ}=\frac{CE}{24};$

$\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{CE}{24};$

$2CE=\sqrt{2} \cdot 24;$

$CE=12\sqrt{2}.$

У трапеции высоты равны, значит, $AH=CE=12\sqrt{2}.$

Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABH$ , в котором известны углы $\angle AHB=90^{\circ}; \angle HBA = 60^{\circ}; \angle HAB=180^{\circ}-60^{\circ}-90^{\circ}=30^{\circ}$ . Мы знаем, что синус – отношение противолежащего катета к гипотенузе. Значит, можно записать:

$\displaystyle sin \angle HBA=\frac{AH}{AB};$

$\displaystyle sin 60^{\circ}=\frac{12\sqrt{2}}{AB};$

$\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{12\sqrt{2}}{AB};$

$\sqrt{3}AB=12\sqrt{2} \cdot 2;$

$\sqrt{3}AB=24\sqrt{2};$

$\displaystyle AB=\frac{24\sqrt{2}}{3}=\frac{24\sqrt{2} \cdot \sqrt{3}}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}}=\frac{24\sqrt{6}}{\sqrt{9}}=8\sqrt{6}.$

Ответ: $8\sqrt{6}$ .

Источник: ОГЭ 2025. Математика. 50 вариантов. Типовые варианты экзаменационных заданий от разработчиков ОГЭ. Ященко И. В. (вариант 1)