Пример №9 из задания 23

Окружность с центром на стороне AC треугольника ABC проходит через вершину C и касательной AB в точке B. Найдите диаметр окружности, если AB = 2, AC = 8.

Решение

Нарисуем условие:

Хорда $CD$ проходит через центр окружности и является диаметром. Её нам и необходимо найти.

Пусть $CD=x$ . Тогда $AD=AC-CD=8-x$ .

Теорема о секущей и касательной гласит: Если из одной точки к окружности проведены секущая и касательная, то произведение всей секущей на ее внешнюю часть равно квадрату отрезка касательной. В нашем случае секущая $AC$ , касательная $AB$ и внешняя часть $AD$ . Можно записать:

$AC \cdot AD=AB^2;$

$8(8-x)=2^2;$

$64-8x=4;$

$8x=60;$

$x=7,5.$

Получилось, что диаметр окружности равен 7,5.

Ответ: $7,5$ .

Источник: ОГЭ 2025. Математика. 50 вариантов. Типовые варианты экзаменационных заданий от разработчиков ОГЭ. Ященко И. В. (вариант 8)