Пример №42 из задания 23

Расстояние от точки пересечения диагоналей ромба до одной из его сторон равно 12, а одна из диагоналей ромба равна 48. Найдите углы ромба.

Решение

Нарисуем условие:

Пусть диагональ $BD=48$ . Диагонали ромба точкой пересечения делятся пополам:

$BO=DO=48 \div 2=24$ .

Рассмотрим прямоугольный треугольник $BOF$ . В нем катет $OF=12$ равен половине гипотенузы $OB=24$ , значит угол лежащий на против данного катета равен $\angle FBO=30^{\circ}$ (в прямоугольном треугольнике катет, лежащий напротив угла $30^{\circ}$ , равен половине гипотенузы).

Диагонали ромба являются биссектрисами его углов (биссектриса делит угол пополам):

$\angle ABC=\angle ADC=2 \cdot \angle CBO=2 \cdot 30^{\circ}=60^{\circ}$ .

Найдём два других угла:

$\angle BCD=\angle BAD=180^{\circ}-\angle ABC=180^{\circ}-60^{\circ}=120^{\circ}$ .

Ответ: $60^{\circ}, 60^{\circ}, 120^{\circ}, 120^{\circ}$ .

Источник: ОГЭ 2025. Математика. 50 вариантов. Типовые варианты экзаменационных заданий от разработчиков ОГЭ. Ященко И. В. (вариант 41)