Пример №4 из задания 24

Биссектрисы углов A и B параллелограмма ABCD пересекаются в точке N, лежащей на стороне CD. Докажите, что N — середина CD.

Решение

Нарисуем условие:

У параллелограмма противоположные стороны равны и параллельным $AD=BC; DC \parallel AB$ .

Биссектриса делит угол пополам, значит $\angle BAN=\angle DAN$ и $\angle BAN=\angle AND$ – как внутренние накрест лежащий углы при параллельных прямых $AB$ и $DC$ и секущей $AN$ . Отсюда можно написать:

$\angle BAN=\angle DAN=\angle AND.$

Значит, треугольник $DAN$ является равнобедренным. А у равнобедренного треугольника две стороны равны $AD=DN$ .

Биссектриса делит угол пополам, значит $\angle ABN=\angle CBN$ и $\angle ABN=\angle BNC$ – как внутренние накрест лежащий углы при параллельных прямых $AB$ и $DC$ и секущей $BN$ . Отсюда можно написать:

$\angle ABN=\angle CBN=\angle BNC.$

Значит, треугольник $BCN$ является равнобедренным. А у равнобедренного треугольника две стороны равны $NC=BC$ .

Значит $AD=DN=NC=BC$ , т.е. $DN=NC$ . Получается $N$ – середина стороны $CD$ , что и требовалось доказать.

Источник: ОГЭ 2025. Математика. 50 вариантов. Типовые варианты экзаменационных заданий от разработчиков ОГЭ. Ященко И. В. (вариант 3)