Пример №47 из задания 20

Кузнечик прыгает вдоль координатной прямой в любом направлении на единичный отрезок за прыжок, делая первый прыжок из начала координат. Сколько существует различных точек на координатной прямой, в которых кузнечик может оказаться, совершив ровно $4$ прыжка?

Решение

Рассмотрим несколько вариантов, при которых кузнечик сможет сделать прыжки влево и вправо за весь путь:

$1$ вариант – $4$ прыжка вправо – кузнечик будет в точке $4$ .

$2$ вариант – $3$ прыжка вправо и $1$ влево – кузнечик будет в точке $2$ .

$3$ вариант – $2$ прыжка вправо и $2$ влево – кузнечик будет в точке $0$ .

$4$ вариант – $1$ прыжок вправо и $3$ влево – кузнечик будет в точке $-2$ .

Уже видно, что в итоге кузнечик всегда оказывается в точках с четными координатами (из-за того что он делает четное количество прыжков. Если бы кузнечик делал нечетное количество прыжков, то он бы оказывался в точках с нечетными координатами). Т.к. кузнечик делает ровно $4$ прыжка, то он может оказаться в точках, модуль которых не превышает $4$ . Получается, что кузнечик может оказаться в следующих точках: $-4, -2, 0, 2, 4$ . Всего получилось $5$ точек.