Пример №26 из задания 12

Сумма двух углов ромба равна 240°, а его меньшая диагональ равна 12. Найдите периметр ромба.

Решение

Т.к. сумма двух углов равна $240^{\circ}$ , то каждый угол равен $240\div 2=120^{\circ}$ , т.к. у ромба противоположные углы равны.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABO$ (диагонали ромба пересекаются под прямым углом).

Диагонали ромба делят угол пополам, значит, угол $ABO$ будет равен $120\div 2=60^{\circ}$ . Катет $BO$ равен $12 \div 2=6$ .

Теперь можно найти сторону $AB$ : мы знаем, что косинус – отношение прилежащего катета к гипотенузе, т.е. в нашем случае $\displaystyle cosABO=\frac{BO}{AB}$ .

Подставим известные значения и найдем гипотенузу $AB$ :

$\displaystyle cos60^{\circ}=\frac{6}{AB};$

$\displaystyle 0,5=\frac{6}{AB};$

$AB=12$ .

Получилось, что сторона ромба равна $12$ . А у ромба все стороны равны, значит, его периметр составляет $12+12+12+12=48$ .

Ответ: $48$ .

Источник: ЕГЭ 2023 Математика. Базовый уровень. Типовые экзаменационные варианты. 30 вариантов (вариант 27) (Купить книгу)