Пример №30 из задания 13

Найдите объём правильной четырёхугольной пирамиды, сторона основания которой равна 4, а боковое ребро равно $\sqrt{17}$ .

Решение

Площадь пирамиды находится по формуле $\displaystyle V=\frac{1}{3}S_o \cdot h$ , где $S_o$ – площадь основания, $h$ – высота.

Т.к. у нас правильная четырехугольная пирамида, то значит в основании лежит квадрат. Найдем площадь основания $S_o=a \cdot a=4 \cdot 4=16$ .

Разделим основания на два прямоугольных треугольника. Найдем гипотенузу $AC$ треугольника по теореме Пифагора (см. рисунок ниже):

$AC^2=AB^2+BC^2;$

$AC^2=4^2+4^2;$

$AC^2=32;$

$AC=\sqrt{32}$ .

Рассмотрим прямоугольный треугольник $AHE$ , где мы знаем сторону $AH=AC \div 2= \sqrt{32} \div 2= 4\sqrt{2} \div 2= 2\sqrt{2}$ и сторону $AE=\sqrt{17}$ . Найдем оставшуюся сторону $EH$ по теореме Пифагора (см. рисунок ниже):

$AE^2=AH^2+EH^2;$

$(\sqrt{17})^2=(2\sqrt{2})^2+EH^2;$

$17=8+EH^2;$

$EH^2=9;$

$EH=3$ .

Получилось, что высота равна $3$ .