Пример №1 из задания 10

Весной катер идёт против течения реки в $\displaystyle 1 \frac{2}{3}$ раза медленнее, чем по течению. Летом течение становится на $1$ км/ч медленнее. Поэтому летом катер идёт против течения в $\displaystyle 1 \frac{1}{2}$ раза медленнее, чем по течению. Найдите скорость течения весной (в км/ч).

Решение

Весной:

Пусть $x$ – скорость катера, а $y$ – скорость течения. Тогда, скорость катера по течению будет $(x+y)$ . А против течения $(x-y)$ .

При этом, весной катер идёт против течения реки в $\displaystyle 1 \frac{2}{3}$ раза медленнее, чем по течению, т.е. $\displaystyle \frac{x+y}{x-y}=1 \frac{2}{3}$ .

Летом:

Пусть $x$ – скорость катера, а $y-1$ – скорость течения (летом течение становится на $1$ км/ч медленнее). Тогда, скорость катера по течению будет $(x+(y-1))$ . А против течения $(x-(y-1))$ .

При этом, летом катер идёт против течения реки в $\displaystyle 1 \frac{1}{2}$ раза медленнее, чем по течению, т.е. $\displaystyle \frac{x+(y+1)}{x-(y-1)}=1 \frac{1}{2}$ .

Объединим уравнения в систему и найдем скорость течения весной:

$\begin{cases} 3(x+y)=5(x-y) \\ 2(x+y-1)=3(x-y+1) \end{cases} \Rightarrow$

\begin{cases}
3x+3y=5x-5y \\
2x+2y-2=3x-3y+3
\end{cases}\Rightarrow

$\begin{cases} 3x-5x=-5y-3y \\ 2x-3x+2y+3y=3+2 \end{cases} \Rightarrow$

\begin{cases}
-2x=-8y \\
-x+5y=5
\end{cases}\Rightarrow

$\begin{cases} x=4y \\ -x+5y=5 \end{cases}$

Подставим $x$ во второе уравнение:

$-4y+5y=5;$

$y=5$ .

Получилось, что скорость течения весной равняется $5$ км/ч.

Ответ: $5$ .

Источник: Демоверсия ЕГЭ по математике 2024. Профильный уровень (Задание 10. Пример 1)