Пример №70 из задания 12

Найдите точку максимума функции $y=(x+8)^2 \cdot e^{3-x}$ .

Решение

Найдем производную функции, для этого применим следующие правила дифференцирования $(uv)’=u’v+uv’$ и $(e^u)’=e^u u’$ :

$\displaystyle y’=((x+8)^2)’ \cdot e^{3-x}+(x+8)^2 \cdot (e^{3-x})’=$ $\displaystyle 2(x+8) \cdot e^{3-x}-(x+8)^2 \cdot (e^{3-x})=$ $\displaystyle e^{3-x}(2x+16-(x^2+16x+64))=$ $\displaystyle e^{3-x}(-x^2-14x-48))$ .

Найдем точки экстремума функции, для этого приравняем производную функции к нулю:

$\displaystyle e^{3-x}(-x^2-14x-48))=0;$

$e^{3-x}=0$ или $-x^2-14x-48=0$

$e^{3-x}=0$ – всегда больше нуля.

$-x^2-14x-48=0;$

$D=b^2-4ac=196-4\cdot -1\cdot -48=4;$

$\displaystyle x_1=\frac{14-2}{-2}=-6;$

$\displaystyle x_1=\frac{14+2}{-2}=-8.$

Определим знаки производной функции и изобразим на рисунке поведение функции:

Точка максимума – точка, где производная меняет свой знак с плюса на минус. В нашем случае точка максимума $-6$ .

Ответ: $-6$ .

Источник: Демоверсия ЕГЭ по математике 2024. Профильный уровень (Задание 12. Пример 2)

0 0 голоса

Рейтинг статьи

0 комментариев

Старые

Новые Популярные

Межтекстовые Отзывы

Посмотреть все комментарии

Пример №70 из задания 12

Решение

Интересные статьи: