Пример №13 из задания 16

Четырехугольник ABCD вписан в окружность. Прямые AB и CD пересекаются в точке K, BK=8, DK=24, BC=18. Найдите AD.

Решение

Треугольники $KAD$ и $KBC$ подобны по первому признаку подобия (два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого треугольника):

Первое: $\angle K$ – общий для данных треугольников.

Второе:

Сумма противоположных углов вписанного четырехугольника $ABCD$ равна $180^{\circ}$ :

$\angle ABC+\angle ADC=180^{\circ};$

$\angle ABC=180^{\circ}-\angle ADC.$

$\angle ADK$ и $\angle ADC$ – смежные (два угла, у которых одна сторона общая, а две другие являются продолжением одна другой). А у смежных углов сумма равна $180^{\circ}$ . Значит:

$\angle ADK+ \angle ADC=180^{\circ};$

$\angle ADK=180^{\circ}-\angle ADC.$

Получилось, что $\angle ADK=\angle ABC.$

В итоге получаем, что $\angle K$ – общий и $\angle ADK=\angle ABC.$

Одно из свойств подобных треугольников гласит: у подобных треугольников соответствующие стороны пропорциональны:

$\displaystyle \frac{KD}{KB}=\frac{AD}{BC};$

$\displaystyle \frac{24}{8}=\frac{AD}{18};$

$8AD=24 \cdot 18;$

$AD=3 \cdot 18;$

$AD=54.$

Ответ: $54$ .

Источник: ОГЭ-2025. Математика. Типовые экзаменационные варианты. 36 вариантов. Ященко И. В. (вариант 22)