Пример №135 из задания 2

На координатной плоскости изображены векторы $\overrightarrow{a}$ , $\overrightarrow{b}$ и $\overrightarrow{c}$ . Найдите длину вектора $\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}$ .

Решение

Если точки координатной плоскости имеют координаты $A(x_1; y_1)$ и $B(x_2; y_2)$ , то вектор $\overrightarrow{AB}$ имеет координаты $(x_2-x_1; y_2-y_1)$ .

Найдем координаты вектора $\overrightarrow{a}:$

$\overrightarrow{a}=(5-1; 8-2)=(4; 6)$ .

Найдем координаты вектора $\overrightarrow{b}:$

$\overrightarrow{b}=(11-5; 2-4)=(6; -2)$ .

Найдем координаты вектора $\overrightarrow{c}:$

$\overrightarrow{b}=(10-9; 5-9)=(1; -4)$ .

Разность дух векторов $\overrightarrow{a}(x_1; y_1)$ и $\overrightarrow{b}(x_1; y_1)$ равняется $\overrightarrow{a} — \overrightarrow{b}=x_1 — x_2 ; y_1 — y_2$ .

Сумма дух векторов $\overrightarrow{a}(x_1; y_1)$ и $\overrightarrow{b}(x_1; y_1)$ равняется $\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}=x_1 + x_2 ; y_1 + y_2$ .

Определим координаты вектора:

$\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} +\overrightarrow{c} =\{4+6+1; 6+(-2)+(-4)\}=\{11; 0\}$ .

Длина вектора $\overrightarrow{a} (x;y)$ вычисляется по формуле $|\overrightarrow{a}|=\sqrt{x^2+y^2}$ .

Найдем длину вектора:

$|\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} + \overrightarrow{c}|=\sqrt{x^2+y^2}=\sqrt{11^2+0^2}=\sqrt{121+0}=\sqrt{121}=11.$

Ответ: $11$ .

Источник: Открытый банк задач ЕГЭ по математике (Задание №509518)