Пример №27 из задания 3

Две подруги Оля и Таня задумались о том, как рассчитать площадь поверхности зонта.

На первый взгляд зонт кажется круглым, а его купол напоминает часть сферы (сферический сегмент). Но если присмотреться, то видно, что купол зонта состоит из двенадцати отдельных клиньев, натянутых на каркас из двенадцати спиц (рис. 1). Сферическая форма в раскрытом состоянии достигается за счёт гибкости спиц и эластичности ткани, из которой изготовлен зонт.

Оля и Таня сумели измерить расстояние между концами соседних спиц а. Оно оказалось равно 28 см. Высота купола зонта h (рис. 2) оказалась равна 27 см, а расстояние d между концами спиц, образующих дугу окружности, проходящей через вершину зонта, – ровно 108 см.

Задание 3: Таня предложила, что купол зонта имеет форму сферического сегмента. Вычислите радиус R сферы купола, зная, что OC=R (рис. 2). Ответ дайте в сантиметрах.

Решение

Введем обозначения:

Треугольник $AOB$ – равнобедренный, т.к. $AO=BO=R$ . Значит, углы при основании равны $\angle OAD = \angle OBD$ .

$OC$ является медианой, т.к. данный отрезок является основной осью зонта и проводится ровно в центр купола. Значит, $OB$ является медианой, высотой и биссектрисой. Значит, $\angle ADO=\angle BDO=90^{\circ}$ .